Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям




НазваниеМетодические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям
страница4/10
Дата публикации22.03.2013
Размер1.7 Mb.
ТипМетодические указания
www.vbibl.ru > Экономика > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

.



3.2. Регрессионный анализ
^ Регрессионный анализ предназначен для исследования зависимости исследуемой переменной от различных факторов и отображения их взаимосвязи в форме регрессионной модели.

В регрессионных моделях зависимая (объясняемая) переменная ^ Y может быть представлена в виде функции f (X1, X2, X3, … Xm), где X1, X2, X3, … Xm - независимые (объясняющие) переменные, или факторы. В качестве зависимой переменной может выступать практически любой показатель, харак­теризующий, например, деятельность предприятия или курс ценной бумаги. В зависимости от вида функции f (X1, X2, X3, … Xm) модели делятся на линейные и нелинейные. В зависимости от количества включенных в модель факторов Х модели делятся на однофакторные (парная модель регрессии) и многофакторные (модель множественной регрессии).

Связь между переменной Y и m независимыми факторами можно охарактеризовать функцией регрессии Y= f (X1, X2, X3, … Xm), которая показывает, каково будет в среднем значение переменной yi, если переменные xi примут конкретные значения.

Данное обстоятельство позволяет использовать модель регрессии не только для анализа, но и для прогнозирования экономических явлений.
^ Линейная парная регрессия
Под линейностью здесь имеется в виду, что переменная y предположительно находиться под влиянием переменной x в следующей зависимости:

, (3.6)

где - постоянная величина (или свободный член уравнения), - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений. Это показатель, характеризующий изменение переменной , при изменении значения на единицу. Если - переменные и положительно коррелированные, если  0 – отрицательно коррелированны; - независимые одинаково распределенные случайные величины – остаток с нулевым математическим ожиданием () и постоянной дисперсией (). Она отражает тот факт, что изменение будет неточно описываться изменением Х – присутствуют другие факторы, неучтенные в данной модели.

Оценка параметров регрессионного уравнения


Дня оценки параметров регрессионного уравнения наиболее часто используют метод наименьших квадратов (МНК), который минимизирует сумму квадратов отклонения наблюдаемых значений от модельных значений .

Согласно принципу метода наименьших квадратов, оценки и находятся путем минимизации суммы квадратов



по всем возможным значениям и при заданных (наблюдаемых) значениях. Задача сводится к известной математической задаче поиска точки минимума функции двух переменных. Точка минимума находится путем приравнивания нулю частных производных функции по переменным и . Это приводит к системе нормальных уравнений



решением которой и является пара , . Согласно правилам вычисления производных имеем





так что искомые значения , удовлетворяют соотношениям



Эту систему двух уравнений можно записать также в виде



Эта система является системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными и может быть легко решена, например, методом подстановки. В результате получаем

(3.7)

Такое решение может существовать только при выполнении условия



что равносильно отличию от нуля определителя системы нормальных уравнений. Действительно, этот определитель равен



Последнее условие называется условием идентифицируемости модели наблюдений , и означает, что не все значения совпадают между собой. При нарушении этого условия все точки , лежат на одной вертикальной прямой

Оценки и называют оценками наименьших квадратов. Обратим еще раз внимание на полученное выражение для . Нетрудно видеть, что в это выражение входят уже знакомые нам суммы квадратов, участвовавшие ранее в определении выборочной дисперсии

и выборочной ковариации так что, в этих терминах,

= = =

= (3.8)

Матричная форма записи

В матричной форме модель парной регрессии имеет вид:

(3.9)

где Y - вектор-столбец размерности наблюдаемых значений зависимой переменной;

Х – матрица размерности наблюдаемых значений факторных признаков. Дополнительный фактор х0 вводится для вычисления свободного члена;

- вектор-столбец размерности неизвестных, подлежащих оценке коэффициентов регрессии;

- вектор-столбец размерности ошибок наблюдений

.

.Решение системы нормальных уравнений в матричной форме имеет вид:



Пример 3.2.

Бюджетное обследование семи случайно выбранных семей дало следующие результаты (в тыс. $ ):

Табл. 3.2..

НаблюдениеНакоплениядоходYХ13402655354543.53051.53064.5507235

Требуется:

  1. построить однофакторную модель регрессии

  2. отобразить на графике исходные данные, результаты моделирования.



Решение

  1. Для вычисления параметров модели следует воспользоваться формулами (3.7) и (3.8). Промежуточные расчеты приведены в таблице 3.3.

Табл. 3.3.

НаблюдениеНакопления - YДоход-X2*yxX21340-0.643-0.7140.5100.459120160026552.35714.286204.08233.673330302535451.3574.28618.3675.816225202543.530-0.143-10.714114.7961.53110590051.530-2.143-10.714114.79622.9594590064.5500.8579.28686.2247.95922525007235-1.643-5.71432.6539.388701225сумма25.5285.000.0000.000571.42981.786112012175среднее3.64340.7141601739.286 ,

= 3.643 - 0.143125* 40.714= -2.184.

Построена модель зависимости накопления от дохода:

, график, которой изображен на рис. 3.2.



Рисунок 3.2 График модели парной регрессии.

Качество модели регрессии связывают с адекватностью модели наблюдаемым (эмпирическим) данным. Проверка адекватности (или соответствия) модели регрессии наблю­даемым данным проводится на основе анализа остатков - .

После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение у, в каждом наблюдении на две составляющих - и ;

(3.10)

Остаток представляет собой отклонение фактического зна­чения зависимой переменной от значения данной перемен­ной, полученное расчетным путем: (). Если (), то для всех наблюдений фактические значе­ния зависимой переменной совпадают с расчетными (тео­ретическими) значениями. Графически это означает, что теоретическая линия регрессии (линия, пост­роенная по функции ) проходит через все точ­ки корреляционного поля, что возможно только при строго функциональной связи. Следовательно, результативный признак полностью обусловлен влиянием фактора .

На практике, как правило, имеет место некоторое рассеива­ние точек корреляционного поля относительно теоретической линии регрессии, т. е. отклонения эмпирических данных от тео­ретических (). Величина этих отклонений и лежит в осно­ве расчета показателей качества (адекватности) уравнения.

При анализе качества модели регрессии используется основное положение дисперсионного анализа [6], согласно которому общая сумма квадратов отклонений зависимой переменной от среднего значения может быть разложе­на на две составляющие — объясненную и необъясненную уравнением регрессии дисперсии:

(3.11)

где - значения y, вычисленные по модели .

Разделив правую и левую часть (3.11) на
,
получим

.
Коэффициент детерминации определяется следующим образом:

(3.12.)
Коэффициент детерминации показывает долю вариации результативного признака, находя­щегося под воздействием изучаемых факторов, т. е. определяет, ка­кая доля вариации признака Y учтена в модели и обусловлена влия­нием на него факторов.

Чем ближе к 1, тем выше качество модели.

Для оценки качества регрессионных моделей целесообразно также ис­пользовать коэффициент множественной корреляции (индекс корреляции) R

R = = (3.13)

Данный коэффициент является универсальным, так как он отра­жает тесноту связи и точность модели, а также может использовать­ся при любой форме связи переменных.

При построении однофакторной модели он равен коэффициенту линейной корреляции .

Очевидно, что чем меньше влияние неучтенных факторов, тем лучше модель соответствует фактическим данным.

Также для оценки точности регрессионных моделей целесообразно ис­пользовать среднюю относительную ошибку аппроксимации:

( 3.14)

Чем меньше рассеяние эмпирических точек вокруг теоре­тической линии регрессии, тем меньше средняя ошиб­ка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7 % свидетельствует о хорошем качестве модели.

После того как уравнение регрессии построено, выполняется проверка значимости построенного уравнения в целом и отдельных параметров.

Оценить значимость уравнения регрессии – это означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между Y и Х, фактическим данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных Х для описания зависимой переменной Y

Оценка значимости уравнения регрессии производится для того, чтобы узнать, пригодно уравнение регрессии для практического использования (например, для прогноза) или нет. При этом выдвигают основную гипотезу о незначимости уравнения в целом, которая формально сводится к гипо­тезе о равенстве нулю параметров регрессии, или, что то же самое, о равенстве нулю коэффициента детерминации: . Альтернативная ей гипотеза о значимости уравне­ния — гипотеза о неравенстве нулю параметров регрессии.

Для проверки значимости модели регрессии используется F-критерий Фишера, вычисляемый как отношение дисперсии исходного ряда и несме­щенной дисперсии остаточной компоненты. Если расчетное значение с 1= k и 2 = (n - k - 1) степенями свободы, где k – количество факторов, включенных в модель, больше табличного при заданном уровне значимости, то модель считается значимой.

^ Для модели парной регрессии:

(3.15)
В качестве меры точности применяют несмещенную оценку дис­персии остаточной компоненты, которая представляет собой отно­шение суммы квадратов уровней остаточной компоненты к величи­не (n- k -1), где k – количество факторов, включенных в модель. Квадратный корень из этой величины () называется стандартной ошибкой оценки.

(3.16)

Для модели парной регрессии

Анализ статистической значимости параметров модели парной регрессии

Значения , соответствующие данным при теоретических значениях и являются случайными. Случайными являются и рассчитанные по ним значения коэффициентов и .

Надежность получаемых оценок и зависит от дисперсии случайных отклонений (ошибок). По данным выборки эти отклонения и, соответственно, их дисперсия не оцениваются – в расчетах используются отклонения зависимой переменной от ее расчетных значений : . Так как ошибки (остатки) нормально распределены, то среднеквадратическое отклонение ошибок используется для измерения этой вариации. Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки (отклонения):


(3.17)

где - среднее значение независимой переменной х;

стандартная ошибка, вычисляемая по формуле (3.16);

.

Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (tстатистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:

(3.18)

Затем расчетные значения сравниваются с табличными tтабл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости  (0,1; 0,05)

Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями сво­боды превосходит его табличное значение при заданном уровне зна­чимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует ис­ключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).
^ Интервальная оценка параметров модели

Для значимого уравнения регрессии представляет интерес построение интервальных оценок для параметра :

(3.19)

свободного члена :



где tтабл определяется по таблице распределения Стьюдента для уровня значимости  и числа степеней свободы k = n - 2;

, – стандартные отклонения, соответственно, свободного члена и коэффициента модели (3.6);

n – число наблюдений.
Прогнозирование с применением уравнения регрессии

Регрессионные модели могут быть использованы для прогнозирования возможных ожидаемых значений зависимой переменной.

Прогнозируемое значение переменной получается при подстановке в уравнение регрессии

(3.20)

ожидаемой величины фактора . Данный прогноз называется точечным. Значение независимой переменной не должно значительно отличаться от входящих в исследуемую выборку, по которой вычислено уравнение регрессии.

Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой надежностью.

доверительные интервалы, зависят от стандартной ошибки (3.16), удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α. В частности, для прогноза (3.20) будущие значения с вероятностью (1 - α) попадут в интервал
.

Пример 3.3

Используя данные примера 3.1, оценить накопления семьи, имеющей доход 42 тыс. $ и отобразить на графике исходные данные, результаты моделирования и прогнозирования.

Решение

В примере 3.1 была построена модель зависимости накопления от дохода:

.

Для того, чтобы определить накопления семьи при доходе 42 тыс.$ необходимо подставить значение хпрогн в полученную модель.
^

yпрогноз = - 2.184+0.143*42= 3.827


Величину отклонения от линии регрессии вычисляют по формуле , используя данные таблицы 3.4. Величину находят по формуле (3.16):

= = 0.9112

Табл. 3.4.
НаблюдениеНакопленияПредсказанное YОстатки2Y133.541-0.54060.2923265.6880.31250.0977354.2560.74380.553243.52.1091.39061.933851.52.109-0.60940.371364.54.972-0.47190.2227722.825-0.82500.6806Сумма25.525.5000.00004.1516

Коэффициент Стьюдента для m=5 степеней свободы (m=n-2) и уровня значимости 0.1 равен 2.015. Тогда
U(x=42,n=7,=0.1) ==

===1.965

Таким образом, прогнозное значение =3.827 будет находиться между верхней границей, равной 3.827+1.965=5.792 и нижней границей, равной 3.827-1.965=1.862.

График исходных данных и результаты моделирования приведены на рисунке 3.5



Рисунок 3.5. График модели парной регрессии зависимости накопления от дохода.

Нелинейная регрессия

Если между экономическими явлениями существуют нелинейные соотношения, то они выражаются с помощью соответствующих нелинейных функций.

Теоретические вопросы, связанные с построением моделей нелинейной регрессии следует изучить по учебнику «Эконометрика» под ред. И.И. Елисеевой стр.62-80.
Пример 3.4.

По семи предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (Y, млн. руб.) от объема капиталовложений ( Х, млн. руб. ).

Y64565248504638X646882768496100

Требуется:

1.Для характеристики Y от Х построить следующие модели:

  • линейную (для сравнения с нелинейными),

  • степенную,

  • показательную,

  • гиперболическую.

2.Оценить каждую модель, определив:

  • индекс корреляции,

  • среднюю относительную ошибку,

  • коэффициент детерминации,

  • F-критерий Фишера.

3.Составить сводную таблицу вычислений, выбрать лучшую модель, дать интерпретацию рассчитанных характеристик.

4.Рассчитать прогнозные значения результативного признака по лучшей модели, если объем капиталовложений составит 89,573 млн. руб.

5.Результаты расчетов отобразить на графике.

Решение:


1. Построение линейной модели парной регрессии

Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:
;
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений Х и объемом выпуска продукции Y обратная, достаточно сильная.

Уравнение линейной регрессии имеет вид: w = a + b  x
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Приложение Содержание дисциплины (Извлечение из рабочей программы дисциплины)

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Для студентов III курса специальностей
Методические указания по выполнению контрольной работы обсуждены на заседании кафедры бухгалтерского учета и анализа хозяйственной...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Контрольные задания

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов 4 и 5-го курсов заочной формы обучения всех специальностей...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconТемы контрольных работ. Методические указания по выполнению контрольной...
При изучении дисциплины «Правоведение» студентам необходимо выполнить одну контрольную работу. Контрольная работа является важнейшим...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы №1 “Топографические карты”
Задания по геодезии для студентов заочного факультета: Метод указания по выполнению контр работы № Новосибирск, сгга. 2001. 27 с

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы
Выполнению работы предшествует всестороннее изучение теоретического и практического материала, отраженного в рекомендуемых к изучению...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Одной из составляющих развития и совершенствования экономических процессов является автомобильный транспорт, с помощью которого производится...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Дисциплина «Технический анализ, контроль и основы автоматизации химико-технологических процессов» входит в качестве неотъемлемой...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
www.vbibl.ru
Главная страница