Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям




НазваниеМетодические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям
страница8/10
Дата публикации22.03.2013
Размер1.7 Mb.
ТипМетодические указания
www.vbibl.ru > Экономика > Методические указания
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10
^

Тема 5. Системы линейных одновременных уравнений.


Экономические показатели, часто оказываются взаимозависимы. Структура связей между такими показателями (переменными) может быть описана с помощью системы одновременных (структурных) уравнений. В этих уравнениях присутствуют переменных следующих типов:

-эндогенные, зависимые переменные y, определяемые внутри системы;

-экзогенные, независимые переменные x, значения которых задаются извне, они являются управляемыми, планируемыми;

-предопределенные переменные, включающие в себя как экзогенные переменные за текущий период времени, так и лаговые переменные (т.е. экзогенные и эндогенные переменные за предыдущие периоды времени).

Выделяют следующие виды эконометрических систем.

Системы независимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная yi (i=1,…,n) представлена как функция одного и того же набора независимых переменных xj (j=1,…,m):
y1 = a11 x1 + a12 x2 + +a1m xm + 1

y2 = a21 x1 + a22 x2 + +a2m xm + 2 (5.1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn = an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + n
Каждое уравнение этой системы можно рассматривать самостоятельно как уравнение регрессии. В него может быть введен свободный член и коэффициенты регрессии могут быть найдены методом наименьших квадратов (МНК).

^ Системы рекурсивных уравнений, в которых зависимые переменные yi (i=1,,n) представлены как функции независимых переменных xj (j=1,,m) и определенных ранее зависимых переменных

y1 , y2 ,, yi-1:
y1 = a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + 1

y2 = b21 y1 + a21 x1 + a22 x2 + +a2m xm + 2 (5.2)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn = bn1 y1 + bn2 y2 +,…,+bnn-1 yn-1 +an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + n

Параметры каждого уравнения системы определяются отдельно, в последовательном порядке начиная с первого уравнения методом наименьших квадратов.

^ Системы взаимозависимых уравнений, в которых каждая зависимая переменная yi (i=2,,n) представлена как функция остальных зависимых переменных yk (k i) и независимых (предопределенных) переменных xj (j=1,,m):
y1= b12 y2 + b13 y3 + … + b1n yn +a11 x1 + a12 x2 + …+a1m xm + 1

y2= b21 y1 + b23 y3 + + b2n yn +a21 x1 + a22 x2 + +a2m xm + 2 (5.3)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn= bn1 y1 + bn2 y2 + … + bnn-1 yn-1 +an1 x1 + an2 x2 + …+anm xm + n
Эта система наиболее распространенная, она получила также название системы совместных, одновременных уравнений. Ее так же называют структурной формой модели (СФМ).

Отдельные коэффициенты при переменных СФМ могут быть равны нулю, что означает отсутствие в уравнении этих переменных. Например, модель динамики цены и заработной платы может быть описана СФМ вида
y1= b12 y2 +a11 x1 + 1

y2= b21 y1 + a22 x2 +a23 x3 + 2 (5.4)

где y1 – темп изменения заработной платы;

y2 – темп изменения цен;

x1 – процент безработных;

x2 – темп изменения постоянного капитала;

x3 – темп изменения цен на импорт сырья.

Данная система из двух уравнений содержит две зависимые, эндогенные (y1 , y2) и три независимые, экзогенные (x1,x2,x3) переменные. В первом уравнении отсутствуют переменные x2 и x3 . Это значит, что коэффициенты a12 = 0 и a13= 0.

В СФМ для нахождения параметров модели bij и aij (называемых также структурными коэффициентами модели), простой МНК неприменим.

Обычно для определения структурных коэффициентов модели СФМ преобразуется в приведенную форму модели (ПФМ).

y1 = 11 x1 + 12 x2 + …+1m xm

y2 = 21 x1 + 22 x2 + +2m xm (5.5)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

yn = n1 x1 + n2 x2 + …+nm xm

Параметры приведенной формой модели ij могут быть оценены по методу наименьших квадратов. По этим параметрам затем можно рассчитать структурные коэффициенты модели bij и aij. Для существования однозначного соответствия между параметрами структурной и приведенной формами необходимо выполнение условия идентификации.

Структурные формы модели могут быть

идентифицируемые;

неидентифицируемые;

сверхиндетифицируемые.

Для того, чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы каждое уравнение системы было идентифицируемо. В этом случае число параметров СФМ равно числу параметров приведенной формы.

Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. В этом случае число коэффициентов приведенной формы модели меньше, чем число коэффициентов СФМ.

Модель сверхидентифицируема, если число приведенных коэффициентов больше числа структурных коэффициентов. В этом случае можно получить два и более значений одного структурного коэффициента на основе коэффициентов приведенной формы модели. В сверхидентифицируемой модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы.

Если обозначить число эндогенных переменных в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила:

если D+1 < H уравнение неидентифицируемо;

если ^ D+1 = H уравнение идентифицируемо;

если D+1 > H уравнение сверхидентифицируемо;

Счетное правило является необходимым, но не достаточным условием идентификации. Кроме этого правила для идентифицируемости уравнения должно выполняться дополнительное условие.

Отметим в системе эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.

Поясним это на примере следующей структурной модели.
y1= b12 y2 + b13 y3 + a11 x1 + a12 x2

y2= b21 y1 + a22 x2 + a23 x3 + a24 x4 (5.6)

y3= b31 y1 + b32 y2 +a31 x1 + a32 x2
Проверим каждое уравнение системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.

^ В первом уравнении три эндогенных переменных: y1 ,y2 и y3 (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных x3 и x4 (см. таблицу 5.1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных x3 и x4 взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны a23 и a24 соответственно. В третьем уравнении эти переменные отсутствуют, т.е. коэффициенты при них равны нулю. Так как вторая строка матрицы состоит из нулей, определитель матрицы равен нулю. Значит, достаточное условие не выполнено, и первое уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Таблица 5.1
Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x3 и x4.
Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменныхПеременныеx3x42a23a24300

Во втором уравнении две эндогенные переменные: y1 и y2 (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x1 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y3 и x1 , которые отсутствуют во втором уравнении (см. таблицу 5.2).


Таблица 5.2
Матрица, составленная из коэффициентов при переменных y3 и x1.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменныхПеременныеy3x11b13a113-1a31В третьем уравнении при переменной y3 коэффициент равен –1, так как эта переменная стоит в левой части уравнения. Действительно, третье уравнение можно записать в виде 0= b31 y1 + b32 y2 -1 y3 +a31 x1 + a32 x2 и тогда равенство b33 = –1 становится очевидным.

В общем случае СФМ может быть представлена в виде матрицы коэффициентов при переменных. В этом случае второе уравнение может быть задано вектором (b31 , b32 , -1, a31 , a32 , 0 , 0) , а вся система одновременных уравнений (5.6) будет представлена матрицей
(5.7)


В примерах и задачах для контрольных работ мы будем представлять СФМ в виде такой матрицы коэффициентов при переменных модели.

Определитель представленной в таблице 5.2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. Значит, достаточное условие выполнено, и второе уравнение идентифицируемо.

^ В третьем уравнении три эндогенные переменные: y1 ,y2 и y3 (H=3). В нем отсутствует экзогенные переменные x3 и x4 (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х3 и x4 , которые отсутствуют в третьем уравнении (см. таблицу 5.3). Согласно таблице определитель матрицы равен нулю (первая строка состоит из нулей). Значит, достаточное условие не выполнено, и третье уравнение нельзя считать идентифицируемым.
Таблица 5.3

Матрица, составленная из коэффициентов при переменных x3 и x4.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменныхПеременныеx3x41002a23a24В эконометрических моделях иногда используются балансовые тождества переменных (например, вида y3= y1 + y2 + x1 ). Коэффициенты при переменных при этом не требуют оценок и уравнение не надо исследовать на идентификацию, но в проверке на идентификацию всей системы эти уравнения участвуют. Присутствующие иногда в моделях свободные и остаточные члены (а01 , а02 , а03 ,1 , 2 , 3 ,) не влияют на решение вопроса об идентификации.

При оценивании коэффициентов структурной модели используется ряд методов. С этими методами можно ознакомиться в рекомендованной литературе [1,2]. Рассмотрим косвенный метод наименьших квадратов (КМНК) , который применяется в случае точно идентифицируемой структурной модели. Рассмотрим этот метод на примере следующей идентифицируемой модели, содержащей две эндогенные и две экзогенные переменные:

y1= b12 y2 + a11 x1 + 1 (5.8)

y2= b21 y1 + a22 x2 + 2

Для построения модели мы располагаем информацией, представленной в таблице 5.4
Таблица 5.4.

Фактические данные для построения модели
1у2х1х2133,037,1311245,949,3716342,241,679451,445,9109549,037,4101649,352,3816Сумма270,8263,64562Средн.знач.45,13343,9307,50010,333

Структурную модель преобразуем в приведенную форму модели.

y1= d11 x1 + d12 x2 + u1

y2= d21 x1 + d22 x2 + u2

u1 и u1 – случайные ошибки.

Для каждого уравнения приведенной формы при расчете коэффициентов d можно применить МНК.

Для упрощения расчетов можно работать с отклонениями от средних уровней y=y-ycp и x=x-xcp (ycp и xcp –средние значения). Преобразованные таким образом данные таблицы 5.4 сведены в таблицу 5.5. Здесь же показаны промежуточные расчеты, необходимые для определения коэффициентов dik. Переменные, означающие отклонение от средних значений изображаются далее жирным шрифтом и курсивом.

Для нахождения коэффициентов d1k первого приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y1 x1= d11 Σ x12 + d12 Σ x1 x2

Σ y1 x2= d11 Σ x1 x2 + d12 Σ x22

^ Таблица 5.5

Преобразованные данные для построения приведенной формы модели

nу1
у2х1х2у11х12х12у12у21у22х221-12,133-6,784-4,5000,66754,59920,250-3,002-8,09330,528-4,5250,44520,7675,329-0,5005,667-0,3830,250-2,8344,347-2,66430,19832,1153-2,933-2,308-0,500-1,3331,4670,2500,6673,9101,1543,0771,77746,2671,9692,500-1,33315,6686,250-3,333-8,3544,922-2,6251,77753,867-6,5412,500-9,3339,6676,250-23,333-36,091-16,35361,04887,10564,1678,3370,5005,6672,0840,2502,83423,6144,16847,24432,115Сумма0,0020,0010,0000,00283,10233,500-29,001-20,66721,755134,417155,334

Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим

83,102= 33,5 d11 - 29,001d12

-20,667= -29,001d11 + 155,334d12

Решение этих уравнений дает значения d11 = 2,822 и d12 = 0,394. Первое уравнение приведенной формы модели примет вид

y1= 2,822 x1 + 0,394 x2 + u1

Для нахождения коэффициентов d2k второго приведенного уравнения можно использовать следующую систему нормальных уравнений:

Σ y2 x1= d21 Σ x12 + d22 Σ x1 x2

Σ y2 x2= d21 Σ x1 x2 + d22 Σ x22

Подставляя рассчитанные в таблице 5.5 значения сумм, получим

21,755 = 33,5 d21 - 29,001d22

134,417= -29,001d21 + 155,334d22

Решение этих уравнений дает значения d21 =1,668 и d22 =1,177. Второе уравнение приведенной формы модели примет вид

y2= 1,668 x1 + 1,177 x2 + u2

Для перехода от приведенной формы к структурной форме модели найдем x2 из второго уравнения приведенной формы модели

x2 = (y2 - 1,668 x1 ) / 1,177

Подставим это выражение в первое уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

y1= 2,822 x1 + 0,394 (y2 - 1,668 x1 ) / 1,177 =

= 2,822 x1 + 0,335 y2 - 0,558 x1 = 0,335 y2 + 2,264 x1

Таким образом, b12 = 0,335; a11 = 2,264.

Найдем x1 из первого уравнения приведенной формы модели

x1 = (y1 - 0,394 x2 ) / 2,822

Подставим это выражение во второе уравнение приведенной модели, найдем структурное уравнение

y2= 1,177 x2 + 1,668 (y1 - 0,394 x2 ) / 2,822 =

= 1,177 x2 + 0,591 y1 - 0,233 x2 = 0,591 y1 + 0,944 x2

Таким образом, b21 = 0,591; a22 = 0,944.

Свободные члены структурной формы находим из уравнений

А01= y1,cp - b12 y2,cp - a11 x1,cp =

45,133 – 0,335 * 43,93 –2,264* 7,5 = 13,436

А02= y2,cp - b21 y1,cp - a22 x2,cp =

43,93 – 0,591* 45,133 - 0,944 * 10,333= 7,502

Окончательный вид структурной модели

y1= a01+ b12 y2 + a11 x1 + 1= 13,436 + 0,335 y2 + 2,264 x1 + 1

y2= a02+ b21 y1 + a22 x2 + 2= 7,502 + 0,591 y1 + 0,944 x2 + 2


Литература по теме 5:

1. Елисеева И.И. Эконометрика: Учебник. - М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Елисеева И.И. Практикум по эконометрике: Учебное пособие. –

М. : Финансы и статистика, 2001.

^

Тема 6. Многомерный статистический анализ


Данная тема знакомит студентов с некоторыми методами многомерного статистического анализа (МСА), которые получили наибольшее распространение. При изучении данной темы необходимо уделить особое внимание типам задач, для решения которых используются методы МСА. Технология решения задач подробно рассмотрена в [7]8. Практическое применение методов МСА требует обязательного использования вычислительной техники и специального программного обеспечения. Программа курса предусматривает по данной теме выполнение лабораторной работы с помощью программы СтатЭксперт.

^ Факторный и компонентный анализ в большинстве случаев проводятся совместно.

Компонентный анализ является методом определения структурной зависимости между случайными переменными. В результате его использования получается сжатое описание малого объема, несущее почти всю информацию, содержащуюся в исходных данных. Главные компоненты получаются из исходных переменных путем целенаправленного вращения, т.е. как линейные комбинации исходных переменных. Вращение производится таким образом, чтобы главные компоненты были ортогональны и имели максимальную дисперсию среди возможных линейных комбинаций исходных переменных X. При этом переменные не коррелированы между собой и упорядочены по убыванию дисперсии (первая компонента имеет наибольшую дисперсию). Кроме того, общая дисперсия после преобразования остается без изменений.

Факторный анализ является более общим методом преобразования исходных переменных по сравнению с компонентным анализом.

^ Факторный анализ

Факторный анализ - выявление и обоснование действия различных признаков и их комбинаций на исследуемый процесс путем снижения их размерности. Такая задача решается, как правило, путем "сжатия" исходной информации и выделения из нее наиболее "существенной" информации, т.е. описание объектов меньшим числом обобщенных признаков, называемых факторами.

При использовании методов факторного анализа решаются следующие задачи: [3]

  1. отыскание скрытых, но объективно существующих закономерностей исследуемого процесса, определяемых воздействием внутренних и внешних причин;

  2. описание изучаемого процесса значительно меньшим числом факторов по сравнению с первоначально взятым количеством признаков;

  3. выявление первоначальных признаков, наиболее тесно связанных с основными факторами;

  4. прогнозирование процесса на основе уравнения регрессии, построенного по полученным факторам.

^ Кластерный анализ

Кластерный анализ — это совокупность методов, позволяю­щих классифицировать многомерные наблюдения, каждое из которых описывается набором признаков (параметров) Х1, Х2, ..., Хk. Целью кластерного анализа является образование групп схо­жих между собой объектов, которые принято называть кластера­ми (класс, таксон, сгущение).

Кластерный анализ — одно из направлений статистического исследования. Особо важное место он занимает в тех отраслях науки, которые связаны с изучением массовых явлений и про­цессов. Необходимость развития методов кластерного анализа и их использования продиктована тем, что они по­могают построить научно обоснованные классификации, выявить внутренние связи между единицами наблюдаемой совокупности. Кроме того, методы кластерного анализа могут ис­пользоваться с целью сжатия информации, что является важным фактором в условиях постоянного увеличения и усложнения по­токов статистических данных.

Методы кластерного анализа позволяют решать следующие задачи [2]:

• проведение классификации объектов с учетом признаков, отражающих сущность, природу объектов. Решение такой задачи, как правило, приводит к углублению знаний о со­вокупности классифицируемых объектов;

• проверка выдвигаемых предположений о наличии некото­рой структуры в изучаемой совокупности объектов, т.е. поиск существующей структуры;

• построение новых классификаций для слабоизученных яв­лений, когда необходимо установить наличие связей внутри совокупности и попытаться привнести в нее структуру.

Дискриминантный анализ

Дискриминантный анализ является разделом многомерного стати­стического анализа, который включает в себя методы классификации многомерных наблюдений по принципу максимального сходства при наличии обучающих признаков.

Напомним, что в кластерном анализе рассматриваются методы многомерной классификации без обучения. В дискриминантном анализе новые класте­ры не образуются, а формулируется правило, по которому объекты подмножества подлежащего классификации относятся к одному из уже существую­щих (обучающих) подмножеств (классов), на основе сравнения ве­личины дискриминантной функции классифицируемого объекта, рассчитанной по дискриминантным переменным, с некоторой константой дискриминации.

Предположим, что существуют две или более совокупности (группы) и что мы располагаем множеством выборочных наблюдений над ними. Основная задача дискриминантного анализа состоит в построении с помощью этих выборочных наблюдений правила, позволяющего отнести новое наблюдение к одной из совокупностей.
^ Постановка задачи дискриминантного анализа

Пусть имеется множество M единиц N объектов наблюдения, каждая i–я единица которого описывается совокупностью p значений дискриминантных переменных (признаков) xij , (i=1,2,..., N; j = 1,2,..., р). Причем все множество M объектов включает q обучающих подмножеств (q 2) Mk размером пk каждое и подмножество M0 объектов подлежащих дискриминации (под дискриминацией понимается различие). Здесь k - номер подмножества (класса), (k = 1,2,..., q).

Требуется установить правило (линейную или нелинейную дискриминантную функцию f(Х)) распределения m-объектов подмножества M0 по подмножествам Mk.

Наиболее часто используется линейная форма дискриминантной функции, которая представляется в виде скалярного произведения векторов A=(a1,a2,,ap) дискриминантных множителей и вектора Xi=(xi,1,xi,2,,xi,p) дискриминантных переменных: , (6.1)

или .

Здесь i - транспонированный вектор дискриминантных переменных xij - значений j -ых признаков у i –го объекта наблюдения.

Дискриминантный анализ проводится в условиях следующих основных предположений:

  1. множество ^ M объектов разбито на два или более (q 2) подмножеств Mk (класса), которые отличаются от других групп переменными xij;

  2. в каждом подмножестве Mk находится, по крайней мере, два объекта (nk 2), причем все объекты наблюдения множества M должны принадлежать какому либо из подмножеств (классов);

  3. число ^ N объек­тов наблюдения должно превышать число р дискриминантных пе­ременных (0< р< N-2) не менее чем на две единицы;

  4. линейная независимость между признаками (j), т.е. ни один из признаков не должен быть линейной комбинацией других признаков, в противном случае он не несет новой информации;

  5. нор­мальный закон распределения дискриминантных переменных xij (по признакам).

Если приведенные предположения не удовлетворяются, то ставится вопрос о целесообразности использования дискриминантного анализа для классификации новых на­блюдений.

Основными проблемами дискриминантного анализа являют­ся отбор дискриминантных перемен­ных и выбор вида дискриминантной функции. Для получения наилучших различий обучающих подмножеств могут использоваться критерии последовательного отбора перемен­ных [6] или по­шаговый дискриминантный анализ. После определения набора дискриминантных переменных решается вопрос о выборе вида дискриминантной функции (линейной или нелинейной).

В качестве дискриминантных переменных могут выступать не только исходные (наблюдаемые) признаки, но и главные компоненты или главные факторы, выделенные в факторном анализе.

Дискриминантный анализ может использоваться и для прогнозирования поведения наблюдаемых еди­ниц статистической совокупности путем сопоставления их с поведением аналогичных объектов обучающих подмножеств.

^ Алгоритм выполнения дискриминантного анализа

Алгоритм дискриминантного анализа рассмотрен применительно к линейной дискриминантной функции вида (6.1). Рассмотрим основные этапы алгоритма.

  1. Исходные данные представляются либо в табличной форме

1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Похожие:

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Приложение Содержание дисциплины (Извлечение из рабочей программы дисциплины)

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы Для студентов III курса специальностей
Методические указания по выполнению контрольной работы обсуждены на заседании кафедры бухгалтерского учета и анализа хозяйственной...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Контрольные задания

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы для студентов...
Методические указания предназначены для самостоятельной работы студентов 4 и 5-го курсов заочной формы обучения всех специальностей...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconТемы контрольных работ. Методические указания по выполнению контрольной...
При изучении дисциплины «Правоведение» студентам необходимо выполнить одну контрольную работу. Контрольная работа является важнейшим...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы №1 “Топографические карты”
Задания по геодезии для студентов заочного факультета: Метод указания по выполнению контр работы № Новосибирск, сгга. 2001. 27 с

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания по выполнению контрольной работы
Выполнению работы предшествует всестороннее изучение теоретического и практического материала, отраженного в рекомендуемых к изучению...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Одной из составляющих развития и совершенствования экономических процессов является автомобильный транспорт, с помощью которого производится...

Методические указания по изучению дисциплины и выполнению контрольной работы и аудиторной работы на пэвм для студентов 3 курса, обучающихся по специальностям iconМетодические указания к изучению дисциплины и выполнению контрольной...
Дисциплина «Технический анализ, контроль и основы автоматизации химико-технологических процессов» входит в качестве неотъемлемой...

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
www.vbibl.ru
Главная страница