Абсолютная устойчивость нелинейных систем. Критерий Попова

Абсолютная устойчивость нелинейных систем. Критерий Попова Подобно теореме Лурье критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы сразу для целого класса нелинейности, лежащих в секторе. Пусть нелинейность F(x) удовлетворяет частному условию: F(x) kx F(x) х (38) То есть нелинейность не выходит за рамки сектора в 1 и 3 квадрантах, при этом её конкретный вид не имеет значения, например, она может иметь петли или быть сильно ломаной. F(x) kx Понятно, что требования к виду нели- F(x) нейности очень слабы, поэтому к дан- х ному классу нелинейностей относятся такие нелинейности, которые не под-даются обычным методам линеариза- ции вследствие недифференцируемости. Класс нелинейностей, умещающихся в секторе, очень широк, например, сюда относится большинство нелинейностей датчиков и приводов. С другой стороны, сюда не попадает, например, обычное реле с гистерезисом. ^ Абсолютная устойчивость – это устойчивость для любой нелинейности внутри заданного сектора. Устойчивость в целом (пространстве) – это устойчивость при любом начальном условии. С другой стороны, устойчивость в целом является развитием вполне интуитивно понятной инженеру идеи: если график нелинейности F(x) зажат границами сектора Кх, то коэффициент усиления нелинейности не "превышает К", и если устойчива линейная система, в которой вместо F(x) стоит Кх, то должна быть устойчива и нелинейная система. Но для проверки устойчивости линейной системы можно использовать обычные критерии устойчивости, например, частотные. Именно частотный подход используется в критерии Попова. Критерий Попова дает критерий абсолютной устойчивости в целом и формулировка его подобна критерию устойчивости Найквиста. Пусть линейная часть задана передаточной функцией W(p), нелинейная часть находится в секторе k. Пусть можно найти такое число q, что выполняется следующее частотное неравенство: (39) Тогда система является абсолютно устойчивой в целом и, кроме того: при . Частотное неравенство (39) имеет геометрическую интерпретацию подобную критерию Найквиста. Раскроем выражение (39): То есть (39) фактически означает: (40) Если ввести модифицированный годограф: , (41) то частотное неравенство для модифицированного годографа получает вид: (42) В самом деле, условие (42) просто означает, что модифицированный годограф должен находиться правее прямой, проходящей через точку (-1/к ; j0) с угловым коэффициентом q. на комплексной плоскости с координатами . С другой стороны, выберем в качестве "нелинейности" границу сектора: F(x)=кx. Такая нелинейность входит в рассматриваемый класс, но при её наличии система линейна, и для неё, как для линейной, можно использовать необходимое и достаточное условие Найквиста. Это в данном случае означает, что обычная АФЧХ линейной части не должна "охватывать" точку -1/к. (т.к. W(jω)• К не должна "охватывать" точку -1.) Следовательно, необходимым условием, дополнительным к критерию Попова, будет условие, чтобы обычный (немодифицированный) годограф линейной части не пересекал вещественную ось левее точки -1/к. Отметим, что условие Попова - лишь достаточное, поэтому критерий позволяет отсеять неустойчивые системы. На самом деле, возможны три характерных случая. Рассмотрим пример, в котором нелинейность заключена в секторе с К=1. Тогда для устойчивости прямая в критерии Попова должна проходить через точку -1 с некоторым наклоном наклоном q, и график модифицированного годографа должен быть целиком правее. Рис.3 Устойчивость, Рис.4 Неустойчивость, т.к. выполнены доста- т.к. не выполнены необходимые точные условия. условия для немодифициро- ванного годографа W(jω). На рис.3 возможно провести через точку -1 прямую так, что годограф целиком оказывается справа. На рис.4 годограф немоди-фицированной АФЧХ линейной части пересекает вещественную ось левее точки -1/к = -1. На рис.5 невозможно провести прямую через точку -1 так, чтобы годограф оказался целиком правее, но это не значит, что система неустойчива. В этом случае требуется дополнительное исследование други-ми методами, отличными от критерия Попова. Рис.5 Ничего нельзя утверждать на основе критерия Попова. ^ Правило применения критерия Попова На комплексной плоскости строим модифицированный годограф. Отмечаем точку -1/к, определяемую сектором нелинейности. Пытаемся провести через эту точку какую-нибудь прямую с наклоном q так, чтобы годограф оказался правее. Система будет абсолютно устойчивой, если это возможно. Учитываем, что критерий Попова – только достаточное условие. Итак, необходимые и достаточные условия абсолютной устойчивости не совпадают. Чтобы сблизить необходимое и достаточное условия приходится накладывать более жесткие ограничения на нелинейность. Двигаясь по этому пути, можно получить много обобщений критерия Попова, в частности, при дополнительных ограничениях на нелинейность можно исполь-зовать не модифицированный, а обычный годограф АФЧХ. Если нелинейность удовлетворяет такому дополнительному условию: то есть, скорость возрастания нелинейности огра-ничена в каждой точке величиной к , то в этом случае вместо модифицированного годографа можно использовать обычный (критерий Чо-Нареандры). Подобных обобщений проделано великое множество, упомянем лишь одно, по-видимому, важнейшее. Это - так называемый круговой критерий, который позволяет исследовать устойчивость при нелинейностях в более сложном секторе и, кроме того, нестационарных. Имеются также обобщения критерия Попова на случаи других свойств линейной части, например, при наличии интеграторов. В заключении заметим, что метод гармонической линеаризации, понятие абсолютной устойчивости и методы её исследования а также методы исследования фазовой плоскости дают поистине мощнейший инструментарий анализа и синтеза сложных нелинейных систем автоматического управления.

Похожие:

	Метод гармонической линеаризации Общих универсальных методов исследования нелинейных систем не существует слишком велико разнообразие нелинейностей. Однако, для отдельных...		Исследование динамики гс в работе проиллюстрировано на ряде моделей... Достижения современной науки и техники невозможны без прочно вошедших в них нелинейных представлений. На них базируется теория нелинейных...
	Критерий Стьюдента, стандартная ошибка, интервальный прогноз с применением... Критерий Стьюдента (или t-критерий Стьюдента) общее название для класса методов статистической проверки гипотез (статистических критериев),...		Абсолютная истина источник всего, то из чего все изошло. Абсолютная... Абсолютная истина это истина как процесс, истина как благо. Этапы истины, закономерности флуктуации и корреляции позволяют обнаружить...
	2 Решение актуальных задач развития в нетрадиционных для триз областях ...		Кафедра информатики Отчет по лр№1 Эвм разнообразных процессов. Значительная часть численных методов решения различных по своей природе задач (в особенности – нелинейных)...
	Шапкин В. И. Россия: 110 лет поповщины без А. С. Попова А. С. Попова на трон мирового изобретателя Радио? Прежде чем отвечать на эти вопросы, начнём с концептуальной основы, так, как это...		6 Промышленность и научно-технический потенциал От степени развития промышленности во многом зависят состояние торгового и платежного балансов, насыщение внутреннего рынка товарами,...
	Устойчивость систем автоматического управления Техническое понятие устойчивости отражает понятное и очевидное свойство "хорошей" технической системы не только стабильно работать...		3 предмет отрасли гп это основной критерий для выделения отрасли Метод правового регулирования – это вспомогательный критерий для выделения отрасли